直訳であれば、「雪に埋もれる」という意味のイディオムですが、どんな状況か想像できますか?

“I’m snowed under until the project is finished.”
このプロジェクトが終わるまでとてつもなく忙しい。

“To be snowed under” は;「(仕事)に追われる、忙殺される」という意味で使われます。

例)
A: Aren't you going home? It’s already 20:00.
帰らないの? もう、20:00だよ。
B: I’d like to but I cannot. I’ve been snowed under with paperwork that I have to finish today.
そうしたいんだけど、帰れないのよ。 今日中に終えないといけないペーパーワークがあって。

例2)
Sorry. I haven’t replied you.
返事ができなくてごめん。
I’ve been snowed under with work recently.
最近仕事で忙しくて。

雪であったとしても、忙しさであったとしても身動きが取れなくなるのは、あまり嬉しくはないですが、比較的、覚えやすいイディオムですね。